式の計算
学習のめあて
- 同類項を見分けて整理し、文字式を簡単にできる
- 分配法則を正しく使って、多項式の加減をミスなく行える
- 単項式どうし・単項式と多項式の乗法を、係数と文字と指数に分けて計算できる
- 単項式の除法を、分数で表しながら指数のルールも使って計算できる
- 計算の途中式を整え、符号ミスや見落としを自分でチェックできる
解説
式の計算は、「同じ種類の文字のまとまり」を整理し、決まったルールで正確に計算する学習です。中学2年生では、特に符号と指数（累乗）の扱いでミスが起こりやすいので、ルールをはっきりさせて進めます。
0. まず覚えること（用語）
- 単項式：1つの項だけの式。例：3x、-5a^2b
- 多項式：2つ以上の項の和や差で表された式。例：2x + 3、a^2 - 4a + 1
- 項：+ や - で区切られたまとまり。例：2x - 3y + 5 の項は 2x、-3y、5
- 係数：文字にかかっている数。例：-7x の係数は -7（+7ではありません）
- 同類項：文字の種類と指数がまったく同じ項。例：3x と -5x、2a^2b と -7a^2b は同類項。3x と 3x^2 は同類項ではありません。
1. 同類項の整理（加法・減法の基本）
同類項だけをまとめて、係数だけを足し引きします。
- 例：3x + 5x = 8x（係数 3 と 5 を足す）
- 例：7a^2b - 2a^2b = 5a^2b
- 注意：文字や指数が違うものはまとめられません。例：x + x^2 はそのまま。
2. かっこ（ ）を外す：分配法則
分配法則：a(b + c) = ab + ac、a(b - c) = ab - ac
特に、かっこの前がマイナスのときは要注意です。
-(x + 3) = -x - 3-(2a - 5) = -2a + 5（中の符号が反対になる）
3. 多項式の加法・減法
（1）かっこを外す →（2）同類項をまとめる、の順で行います。
- 例：(2x - 3) + (x + 5) = 2x - 3 + x + 5 = 3x + 2
- 例：(4a - 2b) - (a + 3b) = 4a - 2b - a - 3b = 3a - 5b
4. 単項式の乗法（かけ算）
単項式どうしは、係数と文字と指数に分けて考えると確実です。
- 係数：数どうしをかける
- 文字：同じ文字は指数を足す（例：x^2・x^3 = x^(2+3) = x^5）
- 違う文字はそのまま並べる（例：a・b = ab）
例：(-3a^2b)・(2ab^3) = (-3×2)・(a^(2+1))・(b^(1+3)) = -6a^3b^4
5. 単項式の除法（わり算）
単項式どうしの除法は、まず分数で表してから整理すると安全です。
例：(12x^3y^2) ÷ (3xy) = (12x^3y^2)/(3xy)
- 係数：12/3 = 4
- 同じ文字：指数を引く（x^(3-1) = x^2、y^(2-1) = y）
よって 4x^2y。
注意：指数が引き算になるので、引き算を間違えないことが重要です。
6. 単項式×多項式（分配法則の応用）
例：3x(2x - 5) = 3x・2x + 3x・(-5) = 6x^2 - 15x
7. よくあるミスとチェック
- 符号ミス：- のついた項をかっこから出すときに、符号が変わるか確認します。
- 同類項の見落とし：文字と指数まで完全一致しているかを確認します。
- 指数の計算：かけ算は足す、わり算は引く。例：x^2・x^3 = x^5、x^5 ÷ x^2 = x^3
- 途中式を省きすぎない：慣れるまでは、かっこを外した式を1行書いてからまとめると安全です。
計算は、正確さが一番大切です。途中式を丁寧に書いて、最後に同類項がまとめられているか、符号が正しいかを必ず確認しましょう。
問題に挑戦
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基礎：同類項の整理①
次の式を同類項をまとめて簡単にしなさい。 3x + 5x - 2x
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x がついていて指数も同じなので全部同類項です。係数だけを足し引きします。
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3x + 5x - 2x = (3 + 5 - 2)x = 6x。
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基礎：同類項の整理②（文字が複数）
次の式を簡単にしなさい。 2a^2b - 5a^2b + 3ab
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a^2b の項どうしは同類項ですが、ab は指数が違うので別に残ります。
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2a^2b - 5a^2b = (2 - 5)a^2b = -3a^2b。よって -3a^2b + 3ab。
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基礎：分配法則（＋のかっこ）
次の式を簡単にしなさい。 4(x + 3) - 2(x - 5)
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まず分配法則でかっこを外し、そのあと同類項をまとめます。
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4(x + 3) = 4x + 12。-2(x - 5) = -2x + 10。よって 4x + 12 - 2x + 10 = (4x - 2x) + (12 + 10) = 2x + 22。
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基礎：かっこの前がマイナス
次の式を簡単にしなさい。 -(2x - 7) + (x - 3)
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-( ) は中の符号が反対になります。まず -2x + 7 に直してから計算します。
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-(2x - 7) = -2x + 7。よって (-2x + 7) + (x - 3) = -2x + 7 + x - 3 = (-2x + x) + (7 - 3) = -x + 4。
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標準：多項式の減法（符号に注意）
次の式を簡単にしなさい。 (5a - 2b + 1) - (2a + 3b - 4)
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引き算は、後ろのかっこの各項の符号を反対にして足す、と考えると安全です。
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(5a - 2b + 1) - (2a + 3b - 4) = 5a - 2b + 1 - 2a - 3b + 4。a の同類項：5a - 2a = 3a。b の同類項：-2b - 3b = -5b。定数：1 + 4 = 5。よって 3a - 5b + 5。
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標準：単項式の乗法（指数を足す）
次の計算をしなさい。 (-3x^2y)・(4xy^3)
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係数はかけ算、同じ文字は指数を足します。x は 2+1、y は 1+3 です。
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係数：(-3)×4 = -12。x：x^2・x = x^(2+1) = x^3。y：y・y^3 = y^(1+3) = y^4。よって -12x^3y^4。
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標準：単項式の除法（指数を引く）
次の計算をしなさい。 (18a^3b^2) ÷ (6ab)
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分数にして、係数は割り算、同じ文字は指数を引きます。a は 3-1、b は 2-1 です。
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(18a^3b^2)/(6ab) = (18/6)・a^(3-1)・b^(2-1) = 3a^2b。
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標準：単項式×多項式（分配法則）
次の式を展開して簡単にしなさい。 -2x(3x - 5 + 2)
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まずかっこの中をまとめてもよいですし、そのまま分配してもよいです。符号に注意します。
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かっこの中：3x - 5 + 2 = 3x - 3。よって -2x(3x - 3) = -2x・3x + (-2x)・(-3) = -6x^2 + 6x。
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応用：整理→計算の流れ（複合）
次の式を簡単にしなさい。 2(3x - 4y) - 3(x + 2y) + (x - y)
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①分配法則で全部かっこを外す→②同類項（x、y、定数）ごとにまとめます。
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2(3x - 4y) = 6x - 8y。-3(x + 2y) = -3x - 6y。+(x - y) はそのまま。よって 6x - 8y - 3x - 6y + x - y = (6x - 3x + x) + (-8y - 6y - y) = 4x - 15y。
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応用：係数が分数になる計算（丁寧に）
次の計算をしなさい。 (5x^2y) ÷ (2xy^2)
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まず分数で表し、係数は 5/2、x は 2-1、y は 1-2 になります。y の指数が負になりそうなときは、分数の形で整理します。
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(5x^2y)/(2xy^2) = (5/2)・x^(2-1)・y^(1-2) = (5/2)・x・y^(-1)。y^(-1) は 1/y を表すので、(5/2)・x・(1/y) = (5x)/(2y)。
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応用：ミスしやすい符号と同類項チェック
次の式を簡単にしなさい。 (2a - 3b) - ( -a + 4b) - (a - 2b)
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引き算のかっこは、前の符号ごと分配します。特に -( -a + 4b) のところに注意します。
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(2a - 3b) - ( -a + 4b) - (a - 2b) = 2a - 3b + a - 4b - a + 2b。a の同類項：2a + a - a = 2a。b の同類項：-3b - 4b + 2b = -5b。よって 2a - 5b。