三角形・四角形の合同

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学年: 中学校2年 / 教科: 数学 / 対象: 中学2年生

学習のめあて

合同の意味（対応する辺・角がすべて等しく重なる）を説明できる
三角形の3つの合同条件を正しく言えて、使い分けられる
合同を示すときに「対応」を正しく決め、対応する辺・角を根拠つきで示せる
合同な三角形を使って、辺の等しさ・角の等しさ（性質）を導ける
四角形の問題を対角線や補助線で三角形に分け、合同を利用して証明できる

解説

合同とは、2つの図形が向きや位置を変えて重ねたときに、ぴったり一致することです。合同な図形では、対応する辺の長さと角の大きさがすべて等しくなります。

1. 合同で一番大事な考え：対応

合同を扱うときは、まず「どの点がどの点に対応するか（対応関係）」を決めます。例えば、

△ABC ≡ △DEF

と書くとき、A ↔ D、B ↔ E、C ↔ F が対応する、という意味になります。対応が決まると、

辺：AB ↔ DE、BC ↔ EF、CA ↔ FD
角：∠A ↔ ∠D、∠B ↔ ∠E、∠C ↔ ∠F

のように、対応する辺・角がセットで決まります。証明では、この対応を間違えないことが最重要です。

2. 三角形の合同条件（必ず暗記＋意味理解）

2つの三角形が合同であるための代表的な条件は次の3つです（中学の基本）。

(1) 3辺がそれぞれ等しい（SSS）
「3組の辺の長さがそれぞれ等しい」
(2) 2辺とその間の角がそれぞれ等しい（SAS）
「2組の辺」と「その2辺にはさまれた角」が等しい
(3) 1辺とその両端の角がそれぞれ等しい（ASA）
「1組の辺」と「その辺の両端の角（2つの角）」が等しい

ポイントは「どの情報がそろっているか」を見て、適切な条件を選ぶことです。特に SAS では、角は「2辺の間の角」でないといけません。間の角でないと合同が決まらない場合があるので注意します。

3. 合同を示す証明の基本の型

証明問題では、次の流れにすると書きやすく、ミスが減ります。

示したい三角形を決める（例：△ABC と △DEF）。
対応を決める（A↔D など、どこが対応するか）。
合同条件に必要な3つ（または2組＋角）を集める：
辺が等しい根拠（共通な辺、与えられた等しさ、二等辺三角形の性質など）、角が等しい根拠（対頂角、錯角、同位角、二等辺三角形の底角、平行線など）を使います。
合同条件を使って結論：「よって、△○○○ ≡ △□□□（合同条件）」。
合同からいえること（必要なら）：対応する辺・角は等しいので、求めたい長さや角度、平行、二等分などを導きます。

4. 合同を使うと何がうれしいか

合同が示せると、対応する辺・角が等しいので、次のようなことが分かります。

ある辺の長さが等しい（例：AB = DE）
ある角が等しい（例：∠ABC = ∠DEF）
平行がいえることがある（錯角・同位角が等しい → 平行）
二等分がいえることがある（ある点が中点など）

5. 四角形の問題は「三角形に分ける」

四角形はそのままだと合同条件が使いにくいことが多いので、対角線を引いたり、補助線を引いたりして2つの三角形に分けて考えます。

平行四辺形：対角線で2つの三角形に分けると合同が見えやすい
ひし形・長方形・正方形：対角線や辺の性質から合同を作る

6. よくある間違い（ここが点数の分かれ目）

対応がずれる：△ABC ≡ △ACB のように書く順番で対応が変わるので注意。
SAS の角が「間の角」になっていない：2辺にはさまれた角か必ず確認。
根拠が書けていない：「等しい」と言うだけではだめで、共通、対頂角、平行線、二等辺三角形など理由を書く。
合同のあとに何が言えるかが書けない：合同からは「対応する辺・角が等しい」を必ず使う。

合同の証明は、パズルのように「合同条件に必要なピースを集める」作業です。条件がそろいそうな三角形を見つけ、対応を正しく決め、根拠をそろえて合同を示しましょう。

問題に挑戦

基礎：合同の意味と対応

△ABC ≡ △DEF と書かれているとき、対応する頂点の組と、対応する辺の組をそれぞれ答えなさい。

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合同の記号の左右で、書かれている順番が対応を表します。

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対応する頂点：A ↔ D、B ↔ E、C ↔ F。対応する辺：AB ↔ DE、BC ↔ EF、CA ↔ FD（または AC ↔ DF）。
基礎：合同条件の選択（SSS）

2つの三角形で、3組の辺の長さがそれぞれ等しいことが分かりました。このとき、どの合同条件で合同といえますか。

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3組の辺がそろう条件を思い出します。

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「3辺がそれぞれ等しい（SSS）」の合同条件で、2つの三角形は合同といえます。
基礎：合同条件の選択（SAS）

2つの三角形で、AB = DE、AC = DF、そして ∠A = ∠D が分かりました。ここで ∠A は辺 AB と AC の間の角、∠D は辺 DE と DF の間の角です。このとき、どの合同条件で合同といえますか。

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2辺と、その2辺にはさまれた角がそろっています。

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「2辺とその間の角がそれぞれ等しい（SAS）」の合同条件で合同といえます。
基礎：合同条件の選択（ASA）

2つの三角形で、∠B = ∠E、∠C = ∠F、そして BC = EF が分かりました。このとき、どの合同条件で合同といえますか。

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1辺とその両端の角がそろっているかを確認します。

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辺 BC と EF は、角 ∠B・∠C（∠E・∠F）の両端の辺なので、「1辺とその両端の角がそれぞれ等しい（ASA）」で合同といえます。
標準：二等辺三角形＋合同（証明の形）

二等辺三角形 ABC で AB = AC です。点 D を辺 BC の中点とするとき、△ABD と △ACD が合同であることを示しなさい。

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合同条件に必要な3つを集めます。AB = AC（与えられている）、BD = DC（中点）、AD は共通です。

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AB = AC（二等辺三角形の条件、与えられている）。D は BC の中点より BD = DC。AD は共通な辺なので AD = AD。よって、3辺がそれぞれ等しいので（SSS）、△ABD ≡ △ACD。
標準：平行線＋角→合同（SAS）

四角形 ABCD で AB ∥ CD、AD ∥ BC である（平行四辺形）。対角線 AC を引く。△ABC と △CDA が合同であることを示しなさい。

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共通な辺 AC を使い、平行線から角の等しさ（錯角など）を作ります。

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AC は共通なので AC = CA。AB ∥ CD より、∠BAC と ∠DCA は錯角で等しい。AD ∥ BC より、∠BCA と ∠DAC は錯角で等しい。したがって、1辺 AC とその両端の角がそれぞれ等しいので（ASA）、△ABC ≡ △CDA。
標準：合同から辺の等しさを導く

△PQR ≡ △STU であることが分かりました。PQ = 6cm、QR = 8cm、∠R = 40° のとき、ST、TU、∠U をそれぞれ求めなさい。

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順番が対応を表します。P↔S、Q↔T、R↔U です。

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対応より PQ ↔ ST、QR ↔ TU、∠R ↔ ∠U。よって ST = 6cm、TU = 8cm、∠U = 40°。
応用：補助線で四角形を三角形に分ける

四角形 ABCD で AB = CD、BC = AD が成り立っている。対角線 AC を引くとき、△ABC と △CDA が合同であることを示しなさい。

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AB = CD、BC = AD、そして AC は共通です。3辺がそろいます。

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AB = CD（与えられている）。BC = AD（与えられている）。AC は共通な辺なので AC = CA。よって、3辺がそれぞれ等しいので（SSS）、△ABC ≡ △CDA。
応用：合同を使って平行を示す（流れを練習）

△ABC と △DEF が合同で、対応は A↔D、B↔E、C↔F である。さらに、AB は直線 l 上、DE は直線 m 上にあり、∠ABC = ∠DEF が成り立つとする。このとき l ∥ m といえる理由を説明しなさい。

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対応する角が等しいことから、同位角（または錯角）が等しい状況を作れます。

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合同より対応する角が等しいので ∠ABC = ∠DEF が成り立つ。これらが直線 l と m を横切る同じ位置の角（同位角）または錯角の関係になるなら、角が等しいので平行の判定より l ∥ m といえる。
応用：証明の穴埋め（合同条件を明確に）

△ABC と △ADC について、AB = AD、BC = DC、AC は共通である。このとき △ABC ≡ △ADC を示す証明を、合同条件も含めて完成させなさい。

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3辺がそろっているので SSS を使います。共通な辺は AC です。

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AB = AD（与えられている）。BC = DC（与えられている）。AC = AC（共通な辺）。よって、3辺がそれぞれ等しいので（SSS）、△ABC ≡ △ADC。