一次関数
学習のめあて
- 一次関数 y = ax + b の a（変化の割合）と b（切片）の意味を説明できる
- 表・グラフ・2点の情報から、変化の割合を求め、式 y = ax + b を決定できる
- 一次関数のグラフを、切片と変化の割合（または2点）を使って正確にかける
- グラフの交点や条件（y が○、x が○など）を式で表し、連立方程式として解ける
- 文章題を一次関数で表し、増え方（減り方）を根拠つきで解釈できる
解説
一次関数は、x を決めると y が1つに決まる関係（関数）のうち、式が次の形になるものです。
y = ax + b
ここで a と b は数で、a（変化の割合）とb（切片）に特別な意味があります。
1. 変化の割合 a（傾き）とは
変化の割合 a は、x が 1 増えるとき、y がどれだけ増える（または減る）かを表します。
- a が正（例：a = 2）なら、x が増えると y は増える（右上がり）。
- a が負（例：a = -3）なら、x が増えると y は減る（右下がり）。
- a = 0 のときは y = b となり、グラフは水平な直線になります（一次関数として扱うかは教科書によって説明が違うことがありますが、中学の計算・グラフではよく出ます）。
表を使うと、変化の割合は次の式で求められます。
a = (y の増加量) / (x の増加量)
例えば、x が 2 増えたら y が 6 増えたなら、a = 6/2 = 3 です。
2. 切片 b とは
切片 b は、x = 0 のときの y の値です。グラフでは、直線がy 軸と交わる点の y 座標になります。
つまり、一次関数のグラフは必ず点 (0, b) を通ります。
3. グラフのかき方（超重要）
一次関数のグラフは直線なので、2点が分かれば必ず引けます。
方法A：切片と変化の割合でかく
- 式 y = ax + b から、まず点 (0, b) をとる（切片）。
- 変化の割合 a を「上へ何、右へ何」で考えてもう1点をとる。
例：a = 3/2 なら「右へ2、上へ3」。a = -2/3 なら「右へ3、下へ2」。 - 2点を結んで直線を引く（定規を使う）。
方法B：x に値を入れて2点を作ってかく
- x = 0、1、2 など簡単な値を入れて y を計算する。
- 得られた2点を結ぶ。
4. 2点が分かるときの式の求め方
点 (x1, y1) と点 (x2, y2) を通る一次関数の変化の割合は、
a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
a が求まったら、y = ax + b に (x1, y1) を代入して b を求めます。
5. 表・グラフから式を読むコツ
- 表なら、x がいくつ増えたとき y がいくつ増えたかを見て a を求める。
- グラフなら、格子（目盛り）を使って、直線上の分かりやすい2点を選ぶ（交点や整数の点）。
- b は x = 0 のときの y（y 軸との交点）。
6. 交点や条件問題（連立方程式につながる）
2つの一次関数の交点は、両方の式を同時に満たす点です。つまり、y を等しいとして連立方程式で求められます。
例：y = 2x + 1 と y = -x + 7 の交点は、2x + 1 = -x + 7 を解いて x を求め、y を求めます。
7. よくあるミスとチェック方法
- a の符号ミス：右上がりか右下がりかを必ず確認する。
- 分数の傾き：a = 3/2 は「右へ2、上へ3」。a = 2/3 と間違えない。
- b の読み間違い：y 軸との交点（x = 0）だけを見る。
- 2点から b を求めるとき：代入する点を間違えない。代入後に計算チェックをする。
- 答えの確認：求めた式に2点を代入して両方成り立つか確かめる。
一次関数は、式・表・グラフ・文章題をつなぐ単元です。どれか1つだけでなく、行き来できるように練習しましょう。
問題に挑戦
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基礎：a と b の読み取り
一次関数 y = -3x + 5 について、変化の割合 a と切片 b を答えなさい。また、グラフは右上がり・右下がりのどちらですか。
ヒントを見る
y = ax + b と見比べます。a の符号で増減が決まります。
答えを見る
a = -3、b = 5。a が負なのでグラフは右下がりです。
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基礎：代入して値を求める（確認まで）
一次関数 y = 2x - 7 で、x = 4 のときの y を求めなさい。また、その点の座標も答えなさい。
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x を式に代入します。座標は (x, y) です。
答えを見る
y = 2×4 - 7 = 8 - 7 = 1。座標は (4, 1) です。
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基礎：表から変化の割合
次の表は一次関数の値です。x: 0, 2, 4 のとき、y: 1, 5, 9 でした。変化の割合 a を求めなさい。
ヒントを見る
a = (y の増加量) / (x の増加量)。x が 0→2 で y が 1→5 などを使います。
答えを見る
x が 0→2 で +2、y が 1→5 で +4。よって a = 4/2 = 2。0→4 でも y は 1→9 で +8、a = 8/4 = 2 となり一致します。
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標準：表から式を決定（b も求める）
次の表は一次関数の値です。x: 0, 3, 6 のとき、y: -2, 4, 10 でした。この一次関数の式を求めなさい。
ヒントを見る
まず a を求め、次に x = 0 のときの y（切片）から b を決めます。
答えを見る
x が 0→3 で +3、y が -2→4 で +6 なので a = 6/3 = 2。切片は x = 0 のとき y = -2 だから b = -2。よって y = 2x - 2。確認：x = 6 のとき y = 2×6 - 2 = 10 で表と一致します。
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標準：2点から式（基本）
点 (1, 3) と点 (5, 11) を通る一次関数の式を求めなさい。
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まず a = (y2 - y1) / (x2 - x1)。次に y = ax + b に代入して b を求めます。
答えを見る
a = (11 - 3) / (5 - 1) = 8/4 = 2。y = 2x + b に (1, 3) を代入して 3 = 2×1 + b、b = 1。よって y = 2x + 1。確認：x = 5 なら y = 11 で成り立ちます。
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標準：2点から式（分数の傾き）
点 (2, 1) と点 (8, 5) を通る一次関数の式を求めなさい。
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a は分数になります。a を約分してから b を求めます。
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a = (5 - 1) / (8 - 2) = 4/6 = 2/3。y = (2/3)x + b に (2, 1) を代入して 1 = (2/3)×2 + b = 4/3 + b。よって b = 1 - 4/3 = (3/3 - 4/3) = -1/3。したがって y = (2/3)x - 1/3。確認：x = 8 なら y = (16/3) - (1/3) = 15/3 = 5。
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標準：グラフの情報（切片ともう1点）から式
一次関数のグラフが点 (0, -4) と点 (3, 2) を通るとき、この一次関数の式を求めなさい。
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(0, -4) は切片 b を直接教えてくれます。a を求めて y = ax + b に入れます。
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点 (0, -4) より b = -4。a = (2 - (-4)) / (3 - 0) = 6/3 = 2。よって y = 2x - 4。
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応用：交点（連立方程式）
2つの一次関数 y = 2x + 1 と y = -x + 7 の交点の座標を求めなさい。
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交点では y が同じなので 2x + 1 = -x + 7 とおけます。
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2x + 1 = -x + 7 より 3x = 6、x = 2。y = 2x + 1 に代入して y = 2×2 + 1 = 5。交点は (2, 5)。
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応用：文章題（料金・基本料金＋比例部分）
映画館の料金は、会員だと最初に400円かかり、その後チケット1枚につき300円ずつ増えます。チケットの枚数を x 枚、合計金額を y 円として、一次関数で表しなさい。また、チケットを5枚買うといくらですか。
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最初にかかる400円が b、1枚増えるごとに300円増えるので a = 300 と考えます。
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最初に400円かかるので切片 b = 400。1枚につき300円増えるので変化の割合 a = 300。よって y = 300x + 400。x = 5 のとき y = 300×5 + 400 = 1500 + 400 = 1900 円。
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応用：条件を満たす式（点と傾き）
変化の割合が -2 で、点 (4, 3) を通る一次関数の式を求めなさい。
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a が分かっているので y = ax + b に点を代入して b を求めます。
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a = -2 なので y = -2x + b。点 (4, 3) を代入すると 3 = -2×4 + b = -8 + b。よって b = 11。したがって y = -2x + 11。
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応用：表現の解釈（増減を言葉で説明）
一次関数 y = (1/2)x - 3 について、x が 4 増えると y はいくつ変化しますか。また、x = 0 のときの y の値は何ですか。
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変化の割合は「x が1増えると y が 1/2 増える」。x が4増えるなら 4倍します。切片は x = 0 の値です。
答えを見る
変化の割合は 1/2 なので、x が 4 増えると y は (1/2)×4 = 2 増えます。x = 0 のとき y = (1/2)×0 - 3 = -3 です。