平行線と角
学習のめあて
- 同位角・錯角・（必要に応じて）同側内角の意味を図で説明できる
- 平行線があるときに成り立つ角の性質を使って角度を求められる
- 同位角・錯角が等しいことを根拠に、2直線が平行であると判断できる
- 一直線の角・対頂角・三角形の内角の和などを組み合わせて複雑な角度問題を解ける
- 解答で「どの角とどの角が、なぜ等しい（または和が180°）のか」を文章で説明できる
解説
平行線と角は、角度問題の「土台」になる単元です。コツは、図を見たときに平行線を見つける → 等しい角（同位角・錯角）を作る → 180°や三角形で仕上げるという流れを身につけることです。
0. まずは角の超基本（必ず使います）
- 一直線の角：一直線上に並ぶとなり合う角の和は 180°。
例：∠1 + ∠2 = 180° - 対頂角：2直線が交わるとき、向かい合う角は等しい。
例：∠1 = ∠3 - 三角形の内角の和：三角形の3つの内角の和は 180°。
例：∠A + ∠B + ∠C = 180° - 三角形の外角：外角は、となり合わない2つの内角の和に等しい。
例：外角 = ∠A + ∠B
1. 平行線を横切る直線（横切る線を「横切る直線」や「横切線」と言います）
2直線 l と m が平行（l ∥ m）で、1本の直線 t がそれらを横切るとき、交点が2つできて角がたくさんできます。このとき、特に重要な角が次の3種類です。
2. 同位角（どういかく）
同位角は、2つの交点で同じ位置にできる角どうしです。
イメージ：上の交点の「右上」の角と、下の交点の「右上」の角のように、同じ向き・同じ場所にある角です。
- 性質：
l ∥ mのとき、同位角は等しい。 - 逆（平行の判定）：同位角が等しければ、2直線は平行。
3. 錯角（さっかく）
錯角は、平行な2直線の内側にできる角で、横切る直線 t をはさんで左右に分かれる角どうしです。
- 性質：
l ∥ mのとき、錯角は等しい。 - 逆（平行の判定）：錯角が等しければ、2直線は平行。
4. 同側内角（どうそくないかく）
同側内角は、平行線の内側にできる角で、横切る直線 t の同じ側にある角どうしです。錯角と違って左右に分かれず、同じ側に並びます。
- 性質：
l ∥ mのとき、同側内角の和は 180°。
中学の角度問題では、同位角・錯角で「等しい角」を作るだけでなく、同側内角で「180°になるペア」を作って解くこともよくあります。
5. 角度問題の王道手順（超重要）
- 平行の記号（∥）や、矢印の印を探す。平行が見つかったら勝ちに近づきます。
- 横切っている直線を確認し、同位角・錯角・同側内角のどれが使えるか決める。
- 等しい角ができたら、一直線 180°や対頂角で別の角もつなげる。
- 最後に三角形の内角 180°や外角で仕上げる。
- 答えるときは、理由を短く書く練習をします。
例：「l ∥ m より錯角が等しい」「一直線なので和が180°」など。
6. よくあるミス（ここを特に注意）
- 同位角と錯角を取り違える：同位角は「同じ位置」、錯角は「内側で左右に分かれる」。
- 内側・外側の見間違い：錯角・同側内角は「平行線の内側」にある角です。
- 180°を使う場所のミス：一直線のとなり合う角だけが 180°。向かい合う角（対頂角）は等しいです。
- 根拠を書かずに答える：図形は理由が大切。短い言葉でもよいので書けるようにします。
この単元は、後の「多角形の角」「合同・相似」「平行四辺形の性質」「証明」に何度も出てきます。角度を求めるだけでなく、平行を判断するところまでしっかり練習しましょう。
問題に挑戦
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基礎：同位角（等しい）
2直線 l と m が平行（l ∥ m）で、1本の直線 t が横切っています。上の交点で「右上」の角が 68° のとき、下の交点で「右上」にある角は何度ですか。
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同じ位置（右上どうし）なので同位角です。平行なら同位角は等しいです。
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l ∥ m より同位角は等しいので、下の交点の右上の角も 68° です。
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基礎：錯角（等しい）
2直線 l ∥ m を直線 t が横切っています。平行線の内側にある錯角の一方が 47° のとき、もう一方の錯角は何度ですか。
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平行線の内側で、t をはさんで左右に分かれる角どうしが錯角です。
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l ∥ m なので錯角は等しいです。したがってもう一方も 47° です。
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基礎：同側内角（和が180°）
2直線 l ∥ m を直線 t が横切っています。平行線の内側にある同側内角の一方が 112° のとき、もう一方の同側内角は何度ですか。
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同側内角は平行なら和が 180° です。
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同側内角の和は 180° なので、もう一方は 180 - 112 = 68° です。
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基礎：一直線と対頂角の確認
2本の直線が交わってできる角で、ある角が 35° でした。対頂角は何度ですか。また、その角にとなり合う角は何度ですか。
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対頂角は等しい、となり合う角の和は 180° です。
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対頂角は 35°。となり合う角は一直線なので 180 - 35 = 145° です。
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標準：平行線＋一直線の連結
2直線 l ∥ m を直線 t が横切っています。上の交点の角の1つが 123° です。下の交点でこの角と錯角になる角を求め、さらにその角にとなり合う角も求めなさい。
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まず錯角で等しい角を決め、そのあと一直線 180° を使います。
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l ∥ m より錯角は等しいので、下の交点の錯角も 123°。その角にとなり合う角は一直線なので 180 - 123 = 57°。
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標準：平行の判定（同位角）
2直線 a と b を1本の直線が横切っています。同位角の一組がともに 76° であることが分かりました。a と b の関係を述べ、理由も答えなさい。
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同位角が等しいときの「逆の性質」を使います。
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同位角の一組が等しいので、平行の判定より a ∥ b といえます。理由：同位角が等しければ2直線は平行だからです。
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標準：平行の判定（錯角）
2直線 a と b を1本の直線が横切っています。平行線の内側にある錯角の一組が等しいことが分かりました。このとき a と b は平行といえますか。理由も答えなさい。
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錯角が等しいときも、平行を判断できます。
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錯角の一組が等しいので、平行の判定より a ∥ b といえます。理由：錯角が等しければ2直線は平行だからです。
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標準：三角形の内角と平行線（補助線の基本）
三角形 ABC で、点 C を通り辺 AB に平行な直線 l（l ∥ AB）を引きました。∠A = 52°、∠B = 63° のとき、∠C を求めなさい。途中で平行線の性質を使ってよいです。
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C を通る平行線を使うと、∠A や ∠B と等しい角を C のまわりに作れます。最後は一直線（180°）か三角形（180°）です。
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l ∥ AB より、C のところに ∠A と等しい角 52° と、∠B と等しい角 63° を（同位角または錯角として）作れます。C のまわりで一直線になるので 52 + ∠C + 63 = 180。よって ∠C = 180 - 115 = 65°。
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応用：文字を使う角度（方程式にする）
2直線 l ∥ m を直線 t が横切っています。同側内角の一方が (3x + 15)°、もう一方が (2x + 30)° です。x を求めなさい。
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平行なら同側内角の和は 180° です。式を立てます。
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(3x + 15) + (2x + 30) = 180。5x + 45 = 180、5x = 135、x = 27。
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応用：錯角→一直線→対頂角（つなげる練習）
2直線 l ∥ m を直線 t が横切っています。上の交点で、ある角が 40° でした。その角と一直線になる角を求め、さらにその角の対頂角を求めなさい。最後に、下の交点で最初の 40° と同位角になる角も求めなさい。
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一直線は 180°、対頂角は等しい、平行なら同位角は等しい、の順で追います。
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一直線になる角は 180 - 40 = 140°。その角の対頂角は等しいので 140°。また l ∥ m より、下の交点で 40° と同位角になる角も 40°。
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応用：文章で理由を書く（短くでOK）
角度を求める問題で「この2つの角が等しい」と言いたいとき、次の3つの理由をそれぞれ短い文で書きなさい。①同位角 ②錯角 ③対頂角
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「〜なので、〜が等しい」という形にします。
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①「2直線が平行なので、同位角は等しい。」②「2直線が平行なので、錯角は等しい。」③「2直線が交わってできる対頂角は等しい。」