連立方程式
学習のめあて
- 連立方程式の意味（同時に成り立つ解）を説明できる
- 代入法で連立方程式を解き、途中式を正しく書ける
- 加減法（消去法）で係数をそろえて解ける
- 分数や小数を含む連立方程式でも、通分・倍して処理して解ける
- 文章題を連立方程式に表し、答えの意味まで説明し、確かめができる
解説
連立方程式とは、2つ以上の方程式をセットで考え、両方（全部）を同時に満たす文字の値を求めるものです。中学2年生では主に、x と y の2つの文字を含む1次方程式（2元1次）を扱います。
例：
x + y = 72x - y = 1
このときの解 (x, y) は、両方の式に代入してどちらも成り立つ組です。
0. 連立方程式の考え方（いちばん大事）
- 式が2本あるので、情報が2つあります。
- 文字も2つなので、2つの情報を使って2つの文字を決めることができます。
- 解き方は、最終的に文字を1つに減らす（消去する）ことが目的です。
1. 代入法（だいにゅうほう）
代入法は、どちらかの式を x = ○ や y = ○ の形にして、もう一方の式に代入し、文字を1つにします。
手順
- どちらかの式を、x について、または y について解く（例：y = 7 - x）。
- その式を、もう一方の式に代入して、1文字の方程式にする。
- 1文字の方程式を解いて、まず x または y を求める。
- 求めた値を、さっきの式（または元のどちらか）に代入して、もう一方の文字も求める。
- 最後に、両方の式に代入して確かめる。
代入法が向いている形
- すでに y = 2x のように「片方が文字について解かれている」
- x + y = 〜 のように、すぐ y = 〜 - x にできる
2. 加減法（かげんほう）＝消去法
加減法は、2つの式を足したり引いたりして、文字を消します。ポイントは「消したい文字の係数をそろえる」ことです。
手順
- 消したい文字（x か y）を決める。
- 2つの式で、その文字の係数が同じになるように、式全体を何倍かする。
- 係数が同じで符号が反対なら足す（加える）。係数が同じで符号が同じなら引く（減らす）。
- 1文字の方程式になったら解く。
- 求めた値をどちらかの式に代入して、もう一方の文字を求める。
- 最後に確かめる。
加減法が向いている形
- x や y の係数がそろえやすい（例：x の係数が 2 と 4 など）
- 分数を避けるために、最初に倍して整数にできる
3. 分数・小数があるときのコツ
- 小数：10倍、100倍して整数にしてから解くとミスが減ります。
- 分数：両式を最小公倍数で倍して分母を消してから解くと安全です。
4. 確かめ（絶対にやる）
連立方程式は、計算が長くなりやすいので、最後に必ず確かめます。
- 求めた x と y を、両方の式に代入する。
- 左辺と右辺がそれぞれ一致するか確認する。
5. 文章題の立て方（失敗しない型）
- 文字を置く：何を x、何を y にするか決める（単位も書く）。
- 条件を読み取る：合計、差、個数、料金、速さなど。
- 式を2本作る：条件が2つあるはずです。
- 解いて、答えの単位を付ける。
- 答えが条件に合うか確かめる（現実としておかしくないかも確認）。
よくあるミス
- 式全体を倍し忘れる：片方の項だけを倍してしまう。
- 符号ミス：-(x - 3y) のような形、引き算のときの符号に注意。
- 代入先のかっこ忘れ：x = 2y - 1 を代入するときは (2y - 1) と必ずかっこ。
- 確かめを省略：間違いに気づけない原因になります。
連立方程式は「文字を1つにする」ことができれば必ず解けます。代入法と加減法の両方を使い分けられるように、同じ問題を別の方法で解いて確かめる練習もおすすめです。
問題に挑戦
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基礎：代入法（すでに解かれている形）
次の連立方程式を代入法で解きなさい。 y = 3x - 2、 x + y = 13
ヒントを見る
y がすでに y = ○ の形なので、そのまま x + y = 13 に代入します。
答えを見る
x + y = 13 に y = 3x - 2 を代入すると、x + (3x - 2) = 13。4x - 2 = 13、4x = 15、x = 15/4。y = 3x - 2 = 3×15/4 - 2 = 45/4 - 8/4 = 37/4。
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基礎：代入法（片方を作る）
次の連立方程式を代入法で解きなさい。 2x + y = 9、 x - y = 1
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x - y = 1 を y について解くと y = x - 1 ではなく、y = x - 1 になるか確認してから代入します。
答えを見る
x - y = 1 を y について解くと、-y = 1 - x、y = x - 1。これを 2x + y = 9 に代入して、2x + (x - 1) = 9、3x - 1 = 9、3x = 10、x = 10/3。y = x - 1 = 10/3 - 1 = 7/3。
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基礎：加減法（そのまま消せる）
次の連立方程式を加減法で解きなさい。 x + y = 8、 x - y = 2
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2つの式を足すと y が消えます。
答えを見る
(x + y) + (x - y) = 8 + 2 より、2x = 10、x = 5。x + y = 8 に代入して、5 + y = 8、y = 3。
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標準：加減法（係数をそろえる①）
次の連立方程式を解きなさい。 3x + 2y = 16、 x - 2y = 0
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y の係数が 2 と -2 なので、2つの式を足すと y が消えます。
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(3x + 2y) + (x - 2y) = 16 + 0 より、4x = 16、x = 4。x - 2y = 0 に代入して、4 - 2y = 0、2y = 4、y = 2。
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標準：加減法（係数をそろえる②）
次の連立方程式を解きなさい。 2x + 3y = 7、 5x - 3y = 8
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y の係数が 3 と -3 でそろっているので、足すと y が消えます。
答えを見る
(2x + 3y) + (5x - 3y) = 7 + 8 より、7x = 15、x = 15/7。2x + 3y = 7 に代入して、2×15/7 + 3y = 7、30/7 + 3y = 49/7、3y = 19/7、y = 19/21。
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標準：係数をそろえる（両方を倍する）
次の連立方程式を解きなさい。 4x + y = 1、 2x - 3y = 13
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y を消したいなら、1つ目の式を 3倍して y の係数を 3 にします。
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4x + y = 1 を3倍して 12x + 3y = 3。これと 2x - 3y = 13 を足すと 14x = 16、x = 8/7。4x + y = 1 に代入して、4×8/7 + y = 1、32/7 + y = 7/7、y = -25/7。
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標準：小数を含む（整数化してから）
次の連立方程式を解きなさい。 0.2x + y = 3、 x - 0.5y = 1
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小数を消すために、1つ目を10倍、2つ目を10倍などして整数にします。
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0.2x + y = 3 を10倍して 2x + 10y = 30。x - 0.5y = 1 を10倍して 10x - 5y = 10。消去しやすくするため、後者を2倍して 20x - 10y = 20。これと 2x + 10y = 30 を足すと 22x = 50、x = 25/11。10x - 5y = 10 に代入して、10×25/11 - 5y = 10、250/11 - 5y = 110/11、-5y = -140/11、y = 28/11。
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標準：分数を含む（分母を消してから）
次の連立方程式を解きなさい。 (1/2)x + (1/3)y = 4、 (1/4)x - (1/6)y = 1
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分母の最小公倍数（ここでは12）を両式にかけて分数を消します。
答えを見る
両式を12倍する。1つ目：12×((1/2)x + (1/3)y) = 12×4 より 6x + 4y = 48。2つ目：12×((1/4)x - (1/6)y) = 12×1 より 3x - 2y = 12。2つ目を2倍して 6x - 4y = 24。これと 6x + 4y = 48 を足すと 12x = 72、x = 6。3x - 2y = 12 に代入して 18 - 2y = 12、-2y = -6、y = 3。
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応用：文章題（値段）
りんごを x 個、みかんを y 個買いました。りんごは1個120円、みかんは1個80円で、合計が 1120円でした。また、りんごの個数はみかんの個数より 2個少なかった。x と y を求めなさい。
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合計金額の式と、個数の関係の式の2本を作ります。単位（円、個）も意識します。
答えを見る
合計金額より 120x + 80y = 1120。個数の関係より x = y - 2（または y = x + 2）。120x + 80y = 1120 を40で割って 3x + 2y = 28。x = y - 2 を代入して 3(y - 2) + 2y = 28、3y - 6 + 2y = 28、5y = 34、y = 34/5。x = y - 2 = 34/5 - 10/5 = 24/5。
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応用：文章題（速さ）
A さんは分速 x m で歩き、B さんは分速 y m で走ります。A さんが 6分歩いた距離と、B さんが 4分走った距離の合計は 920m でした。また、B さんの速さは A さんの速さより分速 40m 大きい。x と y を求めなさい。
ヒントを見る
距離 = 速さ×時間 を使って、2本の式を作ります。
答えを見る
距離の条件より 6x + 4y = 920。速さの条件より y = x + 40。代入して 6x + 4(x + 40) = 920、6x + 4x + 160 = 920、10x = 760、x = 76。y = 76 + 40 = 116。
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応用：解の確かめ（必須）
次の連立方程式を解き、求めた (x, y) を両方の式に代入して確かめなさい。 2x - y = 5、 x + 2y = 4
ヒントを見る
加減法でも代入法でもよいですが、最後に必ず両方の式で確認します。
答えを見る
2x - y = 5 から y = 2x - 5。これを x + 2y = 4 に代入して x + 2(2x - 5) = 4、x + 4x - 10 = 4、5x = 14、x = 14/5。y = 2×14/5 - 5 = 28/5 - 25/5 = 3/5。確かめ：2x - y = 2×14/5 - 3/5 = 28/5 - 3/5 = 25/5 = 5、x + 2y = 14/5 + 2×3/5 = 14/5 + 6/5 = 20/5 = 4。両方成り立つので解は (14/5, 3/5)。